本文针对2025年第二十二届五一数学建模竞赛C题"车流量检测"问题，提出了一种基于深度学习的多源融合车流量检测方法。通过结合图像识别、时间序列分析和多模态数据融合技术，我们成功构建了一个高效、鲁棒的车流量检测模型。

摘要

在道路网络中，主路通常配备车流量监测设备，而部分支路未安装该设备。当多条支路汇入主路时，为优化交通信号灯配时、缓解交通拥堵及规划道路资源，本文针对不同场景下的支路车流量推测问题展开研究。针对问题一，构建双约束线性规划模型，以残差平方和最小化为目标函数，结合函数变化趋势设定约束条件，通过最小二乘法求解，发现该问题无唯一解，且存在通解特性：支路二车流量增加时，支路一与支路二斜率之和为 1.5、截距之和为 7；支路二车流量减少时，两斜率之和为 - 0.5、截距之和为 67。针对问题二，先假设支路 4 为正弦式函数，采用模拟退火建模，经误差检验发现该模型误差较大，结合支路 1-3 车流量之和与主路总流量的对比，确定支路 4 更符合方波模型，改用方波模拟并优化后，得到更精确的函数表达式，进而计算出 7:30 和 8:30 各支路车流量。针对问题三，先假设支路 1 为线性增减趋势，采用与问题一、二类似的模拟退火建模方法，后续尝试指数与对数模型，经误差对比发现线性模型更优，最终基于线性函数表达式计算出目标时刻车流量。针对问题四，采用与问题三类似的模型假设与参数化思路，引入 Huber 损失函数优化误差（误差较小时采用均方误差，误差较大时采用绝对误差，具备更强鲁棒性），最终得到函数表达式及目标时刻车流量。针对问题五，基于函数插值与拟合理论（n 次多项式需 n+1 个不同节点函数值确定系数），结合车流量函数复杂程度，分析问题二、三中各支路车流量函数特性，确定主路监测设备在 [6:58,8:58] 时间段内记录车流量数据的关键时刻，为优化交通监测资源配置提供指导。

模型建立流程图

问题一：Y 型道路支路 1、2 车流量推测

针对 Y 型道路，需根据给定数据推测 t∈[0,59] 时间段内支路 1 和支路 2 的车流量，并确定二者随时间变化的函数关系。考虑到题目明确支路车流量呈线性增长或减少趋势，本文构建线性规划模型展开研究：首先设置 7 个决策变量，包括支路 1 的斜率与截距、支路 2 线性增加及减少阶段的斜率与截距，以及支路 2 的时间转折点；以主路实际车流量与支路 1、2 车流量之和的残差平方和最小化为目标函数；结合流量趋势设定约束条件，如支路 1 斜率大于 0（线性增长）、支路 2 增加阶段斜率大于 0 且减少阶段斜率小于 0、支路 1 和 2 车流量非负、时间转折点在 [0,59] 范围内。通过最小二乘法求解模型，得到支路 1 和 2 的函数表达式，进一步研究发现该问题不存在唯一解，仅存在通解特性，即支路二车流量增减阶段与支路一的斜率、截距分别满足特定求和关系。

问题二：多支路（1-4）车流量推测与误差分析

针对特定多支路道路，需推测支路 1-4 的车流量及随时间变化的函数关系，分析结果误差并计算 7:30 和 8:30 的车流量。首先基于道路拓扑结构和时间延迟特性，明确主路流量与支路流量的叠加关系（支路 1、2 存在 2 分钟时间延迟）；设置 10 个决策变量，涵盖各支路分段模型的系数、转折时间及支路 4 正弦函数的振幅、角频率等参数；以主路总流量与各支路流量之和的残差平方和最小化为目标函数，结合各支路流量趋势设定 11 项约束条件（如稳定流量、斜率、振幅等参数的范围限制）。采用模拟退火算法求解（模拟固体退火过程，通过控制温度迭代搜索最优解，平衡全局探索与局部开发），初始假设支路 4 为正弦函数，得到函数表达式后发现误差较大（最小残差平方和为 587.918）。通过计算支路 1-3 流量之和与主路总流量的差值，发现支路 4 流量更符合方波模型，遂改进模型，新增支路 4 方波模型的决策变量（常数值、周期长度、相位偏移），重新设定约束条件并采用模拟退火算法优化，最终得到更精确的函数表达式，此时最小残差平方和降至 475.862，误差显著减小。基于优化后的表达式，计算出 7:30 和 8:30 各支路车流量，误差主要来源于车辆行驶时间的简化假设。

问题三：含信号灯控制支路（1-3）车流量推测

针对含交通信号灯控制的多支路道路（支路 3 受信号灯控制，红灯 8 分钟、绿灯 10 分钟），需推测支路 1-3 车流量及函数关系，分析误差并计算目标时刻流量。考虑到支路 1、2 仍存在 2 分钟时间延迟，支路 3 受信号灯影响需按周期分区建模，设置 10 个决策变量，包括支路 1-2 分段模型的斜率、截距、稳定段常数值，以及支路 3 每个绿灯周期内的流量参数；以主路总流量与各支路流量之和的残差平方和最小化为目标函数，结合流量趋势与信号灯周期设定约束条件（如时间参数逻辑顺序、车流量非负、信号灯周期时长等）。采用模拟退火与线性规划结合的方法求解，初始假设支路 1 为线性趋势，得到函数表达式后，进一步尝试指数与对数模型，经误差对比发现线性模型误差更小（最小残差平方和为 687.574），最终确定采用线性模型。基于优化后的函数表达式，计算出 7:30 和 8:30 各支路车流量，误差主要来源于行驶时间假设简化、车流量趋势理想化及主路检测设备误差。

问题四：含延迟与信号灯支路实际车流量推测

针对问题三的道路场景，需推测支路 1-3 的实际车流量（支路 1、2 存在时间延缓，支路 3 受信号灯控制），确定函数关系、分析误差并计算目标时刻流量。借鉴问题三的建模思路，引入 Huber 损失函数优化误差（兼顾均方误差和绝对误差的优势，提升对异常值的鲁棒性），设置 2 个新增决策变量（支路 1 线性增减阶段的斜率与截距）；以 Huber 损失函数最小化为目标函数（阈值参数设为 1），结合流量趋势与时间逻辑设定约束条件（如时间参数顺序、总流量等于各支路流量之和等）。采用 Huber 损失与线性规划结合的方法求解，得到各支路函数表达式后，计算出 7:30 和 8:30 的车流量，最终 Huber 损失值为 303.333。误差来源包括行驶时间简化假设、原始数据测量误差及主路检测设备误差。

问题五：主路监测设备关键记录时刻确定

基于问题二、三，需确定主路监测设备在 [6:58,8:58] 内记录车流量数据的最少时刻。依据函数插值与拟合理论，n 次多项式需 n+1 个不同节点函数值确定系数，因此需结合各支路车流量函数的复杂程度确定观测点数量。针对问题二，支路 1 为常数函数（需 1 个观测时刻）、支路 2 为三段分段函数（需 4 个观测时刻）、支路 3 为两段分段函数（需 3 个观测时刻）、支路 4 为方波周期函数（需 2 个观测时刻），综合确定关键观测时刻；针对问题三，支路 1 为五段分段函数（需 5 个观测时刻）、支路 2 为三段分段函数（需 4 个观测时刻）、支路 3 受信号灯周期影响（需覆盖全部周期始末时刻），结合信号灯周期与各支路函数特性确定观测时刻。最终通过联立主路流量与各支路流量的方程，求解各支路函数参数，明确主路监测设备需记录数据的具体时刻。

模型评价

模型优点

采用分段线性模型逼近复杂的非线性车流量过程，既能捕捉车流量快速变化的峰值阶段，也能准确描述缓慢变化的稳定阶段；

引入模拟退火算法，通过高温阶段广泛探索解空间、低温阶段聚焦最优区域的方式，平衡解的探索与开发，可实现多链并行搜索，加速收敛；

问题四中采用的 Huber 损失函数，结合均方误差（小误差时）与平均绝对误差（大误差时）的优势，能有效处理含异常值的数据；

各模型函数具备平滑性，使优化过程更稳定，且 Huber 损失函数实现直观，降低求解难度。

模型缺点

线性规划模型的表达能力有限，对复杂非线性车流量场景的适配性不足，且参数敏感性较高，系数微小变化可能导致最优解突变；

模拟退火算法因存在接受劣解的机制，需更多迭代次数才能收敛到最优解，导致求解速度较慢。

（作者吴浩天 赵研科）